Что такое «Математический способ мышления»

В 1940 году, Герман Вейль опубликовал работу, названную «Способ математического мышления». В том труде, влиятельный немецкий математик и физик, продолжая идею работы Феликса Клейна 1872 года «Эрлангенская программа», утверждал, что математическое мышление должно сопровождать функциональное мышление, т.е. «мышление с помощью переменных и функций» (Вейль 1940), которое состоит из трех этапов:

1. Привести переменные к чистому виду
2. Представить переменные в качестве символов
3. Создать функции, в которых переменные накладываются друг на друга.

Под «переменной» подразумевается некоторое переменное число, «символ» — понятное обозначение переменной, а «функция» является процессом присвоения каждому элементу первого множества уникального элемента второго множества. Множества могут быть идентичными.

Важно отметить, что функция несколько отличается от простого присвоения элементам первого множества элементов второго множества (это может быть одно и то же множество), потому что существование идентичного количества элементов в обоих множествах является необязательным условием. Таким образом, функция есть особая разновидность связи, но любая связь необязательно есть функция.

В качестве примера функционального мышления, давайте рассмотрим случай из кинематики, где мы имеем дело с подвижными объектами, которые изучаются на основе времени перемещения и пространства, в котором объект движется. Таким образом, подходящий набор переменных создан с помощью пространства и времени, которые в дальнейшем обозначаются как s и t соответственно. Функциональная связь переменных – t→s, или лучше s = ½ gt2, где даны значения для обеих переменных.

Первый этап математического способа мышления Вейля важен, потому что, из множества вариантов, он дает возможность получить новые знания в изучении важных вещей. Второй этап, обозначение с помощью символов, на первый взгляд кажется неважным. Тем не менее, Вейль предупреждает, что «слова – опасный инструмент» (Вейль 1940), так как они приводят ум к многообразию ассоциаций, что может послужить препятствием для перехода к следующему этапу. На третьем этапе общая картина изображается с помощью символов, и переменные связываются друг с другом.

Тип мышления в три этапа, который не обязательно приводит к математическим заключениям, был назван Вейлем «математическим способом мышления». Некоторые могут подумать, что обычное сложение чисел является математическим способом мышления, так как между множеством выбранных чисел и множеством натуральных чисел выполняется функция. Хоть это и правда, что такая функция существует, обычно использование таких функций делает их рутинными. Тем не менее, ссылаясь на Вейля, математический способ мышления не «сводится к набору применимых механических правил» (Вейль 1940). Люди, которые впервые связали объект с натуральными числами, на самом деле практиковали математический способ мышления. Мы становимся простыми «пользователями» данного способа мышления, когда просто считаем. При этом мы не задумываемся над тем, каким способом наши далекие предки научились это делать, ведь раньше этому никто не учил.
Прежде чем продолжить, стоит обсудить связь между функциональным и рациональным мышлением. Примеры рационального мышления включают изображение аналогии между, казалось бы, разными объектами и событиями, применение абстрактных правил в новых ситуациях, а также понимание и изучение языка (Думас и Хаммель 2005, ст.73). По Думасу и Хаммелю «рациональное мышление» охватывает «все, начиная от обыденного, и заканчивая величайшим (например, использование Кантором теории множеств, для доказательства того, что количество действительных чисел больше, чем количество целых чисел)». Таким образом, подобно функции, которая входит в понятие связи, функциональное мышление входит в понятие рационального мышления.

На данном этапе можно подумать, что подход Вейля к математическому способу мышления подразумевает, что любое рациональное мышление — математическое. Например, чтение данного текста заставляет читателя следовать от множества слов, которые символизированы набором букв, до множества смыслов. Хотя этот пример действительно может служить примером математического мышления, существуют различные степени. Если знание построено путем определения четких объектов и четкого набора функций со связанными элементами обоих множеств, то это математическое мышление вышей степени. Примером является доказательство Кантора с помощью теории множеств. С другой стороны, если полученное знание слабо или вовсе не связано с множествами, а также если опускается определение связи между элементами, то это математическое мышление низкой степени. Примером такой ситуации может служить остановка автобуса, где имеется множество возможных направлений, также как и множество пассажиров, которые уже внутри автобуса, и множество монет в кармане. Здесь функция переходит от указанных множеств к множеству решений: ловить автобус или нет. Таким образом, математический подход к знанию имеет несколько степеней.

В данной работе показано, что существует множество примеров химических знаний, полученных путем использования трех этапов математического мышления. Мы относим эти примеры к высокой степени математического мышления.